### Решение показательных неравенств **Показательные неравенства** — это неравенства, в которых неизвестное содержится в показателе степени. Для их решения часто используют свойства показательной функции и методы замены переменных. #### Пример 1 (лёгкий уровень) Решить неравенство: $2^x > 8$. **Решение:** 1. Заметим, что $8 = 2^3$. 2. Тогда неравенство можно переписать как $2^x > 2^3$. 3. Поскольку основание степени $2 > 1$, функция $y = 2^x$ возрастает, и мы можем сравнить показатели: $x > 3$. **Ответ:** $x > 3$. #### Пример 2 (средний уровень) Решить неравенство: $3^{x+1} < 27$. **Решение:** 1. Представим $27$ как $3^3$. 2. Получаем неравенство $3^{x+1} < 3^3$. 3. Так как основание $3 > 1$, функция возрастает, и мы сравниваем показатели: $x + 1 < 3$. 4. Решаем линейное неравенство: $x < 2$. **Ответ:** $x < 2$. #### Пример 3 (углублённый уровень) Решить неравенство: $4^x - 3 \cdot 2^x + 2 < 0$. **Решение:** 1. Заметим, что $4^x = (2^2)^x = (2^x)^2$. 2. Введём замену $t = 2^x$, тогда неравенство примет вид: $t^2 - 3t + 2 < 0$. 3. Решаем квадратное неравенство: $(t - 1)(t - 2) < 0$. 4. Находим интервалы: $1 < t < 2$. 5. Возвращаемся к переменной $x$: $1 < 2^x < 2$. 6. Решаем два неравенства: $2^0 < 2^x < 2^1$, откуда $0 < x < 1$. **Ответ:** $0 < x < 1$. ### Задания для самоподготовки 1. Решите неравенство: $5^x > 125$. 2. Решите неравенство: $3^{x-2} < 81$. 3. Решите неравенство: $2^{x+3} \geq 16$. 4. Решите неравенство: $4^{x-1} \leq 64$. 5. Решите неравенство: $9^x - 6 \cdot 3^x + 9 > 0$. 6. Решите неравенство: $2^{2x} - 5 \cdot 2^x + 4 < 0$. 7. Решите неравенство: $3^{2x+1} - 2 \cdot 3^{x+1} + 3 > 0$. 8. Решите неравенство: $5^{x-1} + 5^x < 30$. 9. Решите неравенство: $4^x - 5 \cdot 2^x + 6 \geq 0$. 10. Решите неравенство: $9^{x-1} - 3^{x+1} + 2 \leq 0$.

Подготовка к ЕГЭ: показательные неравенства

Похожее