Есть ли универсальный алгоритм решения диофантовых уравнений. Если нет, то покажите пример?

Да, существует универсальный алгоритм решения линейных диофантовых уравнений с любым числом неизвестных. habr.com Он включает следующие шаги: habr.com

1. Проверка, решаемо ли уравнение вообще. habr.com Если ответ положительный, то переход к следующему пункту. habr.com
2. Для ускорения процесса деление всех коэффициентов (включая свободный член) на их наибольший общий делитель. habr.com
3. Избавление от отрицательных коэффициентов в уравнении. habr.com
4. Серия замен, при которой в конце концов один из членов уравнения будет с единичным коэффициентом, и его можно будет вывести без какого-либо деления. habr.com
5. Объявление всех переменных, через которые выражена неизвестная, как свободных. habr.com
6. Вывод остальных переменных через выведенную, не забывая про обратные замены. habr.com
7. Объединение всего в единую систему решений. habr.com

Пример, когда диофантовы уравнения не всегда имеют решения: уравнение 4x + 14y = 5. sibmama.ru Решений нет, так как в левой части уравнения при любых целых x и y будет получаться чётное число, а 5 — число нечётное. sibmama.ru

Ещё один пример: уравнение 4x + 14y = 8. sibmama.ru Все коэффициенты делятся на 2. sibmama.ru Делим уравнение на это число и получаем: 2𝑥 + 7𝑦 = 4. sibmama.ru

Также для решения диофантовых уравнений можно использовать алгоритм Евклида. urok.1sept.ru xn--d1ailn.xn--p1ai